Pythagoras定理の証明

ピタゴラス定理の証明方法がたくさんあるということを前ページで述べておきましたが、それらを集めてみようと計画したのは良いのですが、なかなか時間的余裕が無くて今まできてしまいました。

昨日、偶然にもピタゴラス定理を新しいやり方で証明しているHPを見つけたので、ここでその証明を紹介させていただきます。「はまぐりの数学」 というHPで、この証明の名は「ターレスの定理の利用その３」となっていました。

実に見事な証明なのでとても気に入りました。証明の内容はターレスの定理とあまり関係ないような気がしますが、ターレスがこの証明を発見していたということでしょうか、それともはまぐりさんが見つけたということでしょうか。いずれにせよ、見事な証明であることには変わりありません。



左の図で、円の中に三角形ABCが描かれています。ABに対応する正方形がABDEで、ACに対応するのがACFG、BCに対応するのがBCHIです。故に、ABDE=ACFG+BCHIを証明すれば良いということになります。

さて、角FAD=角BAC、且つAF=AC、且つAD=ABなので三角形AFDと三角形ACBは合同です。

次に三角形BCKと三角形BIJに注目します。このふたつは、BC=BIで、その両端の角が等しいので合同です。つまり、角KCB=角JIBで、共に直角です。また、角KBC=角JBIは共に直角から角EBIを引いたものですから、等しくなっています。

次に、三角形DGLと三角形EHKに注目します。これらはDL=EKで、その両端の角が等しいので合同です。つまり、三角形BCKと三角形BIJは先に示したように合同ですから、BJ=BKとなります。また、三角形BELと三角形EBJは合同です。なぜなら、EJとBLが平行なので、角BEJと角EBLが等しく、角EBJ=角BELで共に直角で、BE=BEなので合同条件を満たしています。つまり、BK=BJ=ELということになります。ここで、EB=DEですから、EB-BK=DE-EL、つまりDL=EKとなります。この両端の角が等しければ両者は合同ということになります。

さて、そこで角GLDと角EKHを比較してみましょう。角EKH=角BKCなので、三角形BCKと三角形BIJが合同なので、角BKC=角BJIとなります。この角BJIは角BLEですから、角DLGとも等しくなります。故に、角EKH=角DLGとなります。また、角DGLと角EHKは共に直角ですから、角GDL=角HEKとなり、これにより、三角形DGLと三角形EHKが合同であることが証明されました。

さて、四角形ABDE=四角形ACFG+四角形CBHIを証明すればよいのですが、四角形をそれぞれの四角形・三角形の和として考えます。つまり、四角形ABDE=四角形ACDL+三角形ABC+四角形CKEL+三角形BCKとなっています。四角形ACFG=四角形ACDL+三角形AFD+三角形DLGです。四角形CBHI=四角形BKHI+三角形BCKとなっています。

これを纏めると、四角形ACDL+三角形ABC+四角形CKEL+三角形BCK = 四角形ACDL+三角形AFD+三角形DLG + 四角形BKHI+三角形BCK ということになります。ここには四角形ACDLという共通部分があるので、それを消して、三角形AFDと三角形ACBは合同で同じ面積ですから消します。残りは四角形CKEL+三角形BCK = 三角形DLG + 四角形BKHI + 三角形BCK ですから、左辺は三角形BELとなり、右辺は三角形EBJと等しくなります。それ故、四角形ABDE = 四角形ACFG + 四角形CBHI をは証明されました。


その他の証明方法については、渡邉研究室のピタゴラスの定理」の別証明集に詳しく載っていました。また、検索するだけでもたくさん見つかるので、私が集める必要はなさそうです。証明方法は何百もあるとのことですから、全部をチェックすることは難しそうです。



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